Îmbinarea de cuvinte „variabilă aleatoare” în sensul direct se utilizează atunci cînd dorim să subliniem, că nu se ştie dinainte care va fi valoarea acestei variabile. Deasemenea în spatele acestor cuvinte se ascunde şi neştirea cum ar arăta această variabilă.
Însă un matematician utilizează aceleaşi cuvinte – „variabilă aleatoare”, punînd în sensul acestor cuvinte ceva bine determinat. Într-adevăr, spune un matematician, noi nu ştim ce valoare va primi variabila aleatoare în cazul dat concret, dar noi putem determina ce valori poate primi această variabilă, şi putem calcula care este probalilitate de apariţie a evenimentelor.
Pe baza acestor date noi nu putem să anticipăm care ar fi rezultatul unui experiment legat de această mărime, dar noi putem să ştim care ar fi rezultatul unei serii întregi de experimente. Cu cît este mai mare numărul de experimente cu atît mai exact putem să prezicem care va fi rezultatul.
Pentru a defini o variabilă aleatoare, trebuie să indicăm ce valori ar putea lua această variabilă şi care sunt probabilităţile de apariţie ale acestor valori.
Există două tipuri de variabile aleatoare: continue şi discrete.
§1. Variabile aleatoare continue
Variabile aleatoare, valorile căreia aparţin unui interval, se numeşte continuă.
În cazuri particulare acesta poate fi nu un singur interval, dar reuniunea a mai multor intervale. Intervalele pot fi finite, parţial finite sau infinite, de exemplu: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).
În general variabila aleatoare continuă este o abstractizare. Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Obuzul, lansat de un proectil, poate să parcurgă o distanţă cuprinsă între 5 şi 5,3 km, dar nimănui nu-i va veni în gînd să măsoare această distanţă cu exactitatea de pînă la milimetri, nemaivorbind de exactitatea absolută. În practică această distanţă va fi o variabilă aleatoare discretă, la care fiecare valoare a variabilei se deosebeşte de alta cel puţin cu distanţa de un metru.
La descrierea unei variabile aleatoare continue principial nu pot fi scrise şi numerotate toate valorile pe care le poate lua această variabilă, care aparţin unui interval destul de îngust. Aceste valori formează o mulţime nenumărabilă, care se numeşte „”continuu”.
Dacă x este o variabilă aleatoare continuă, atunci egalitatea x = х reprezintă în sine, ca şi în cazul variabilei aleatoare discrete, un careva eveniment aleator, dar pentru variabila aleatoare continuă acest eveniment poate fi legat cu o probabilitate egală cu zero, ceea ce nu indică că evenimentul este imposibil. Aşa de exemplu, putem spune, că obuzul va parcurge distanţa de 5245,7183m cu probabiliatea zero, sau, că diametrului unei piese deviază de la cel ideal cu 0,001059 milimetri. În aceste cazuri este greu să ne dăm seam - avut loc experimentul sau nu, deoarece măsurarea acestor mărim se efectuiază cu o careva eroare, şi în calitate de rezultat pot fi doare indicate limitele între care se va afla mărimea dată.
Valorilor variabilelor aleatoare le este specifică o careva nedeterminare. De exemplu, nu are sens distingem două valori care se abat de la valoarea matematic ideală cu 0,5mm şi 0,5000025mm. Probabilitatea, diferită de zero, poate fi legată doar cu nimerirea mărimii în intervalul dat, chiar dacă este destul de îngust.
Fie x – o variabilă aleatoare continuă. Vom cerceta pentru un careva număr х probabilitatea inegalităţii х < x < х + Dх
P(х < x < х + Dх).
Aici Dх – mărimea unui interval îngust.
Evident, că dacă Dх ® 0, atunci P(х < x < х + Dх) ® 0. Notăm prin р(х) limita raportului P(х < x < х + Dх) la Dх , cînd Dх ® 0, dacă această limită există:
Funcţia р(х) se numeşte densitatea de repartiţie a variabilea aleatoare. Di for formula (1) rezultă egalitatea, care este adevărată pentru valori foarte mici lae lui Dх şi care poate fi considerată definirea funcţiei р(х):
P(х < x < х + Dх)
Evident, că funcţia p(x) este o funcţie nenegativă. Pentru definirea probabilităţii, că variabila aleatoare x va lua valori din intervalul [a, b] de lungime finită, vom alege pe acest interval numerele arbitrare x1, х2,¼, хn care satisfac condiţiei а=х0<х1<x2<¼<xn<b=xn+1. Aceste numere impart intervalul [a, b] în n+1 părţi, care nu sunt altceva decît tot nişte intervale [х0, х1), [х1, х2), ¼,[хn, b]. Introducem notaţiile:
Dх0= х1 – х0, Dх1= х2 – х1, ¼, Dхn = b – хn,
şi formăm suma
